Einführung

Vor einer Weile hat jemand einen Ausdruck aus einem Mathebuch zu einem Treffen meiner lokalen Hackergruppe gebracht. Es ging um Hüllensysteme; tiefste Mengentheorie, von der ich noch nie gehört habe. Seine Behauptung war, dass ein Teil davon nicht stimmen könnte. Aus welchen Buch es genau war, wollte er nicht sagen. Ich habe mich nun damit beschäftigt und die Korrektheit der betreffenden Aussage bewiesen.

Mittelteil

Ich habe ein Bild des Scans bekommen. Der Teil um den es geht ist die unterstrichene Aussage im zweiten Bild.

Huellensysteme_I

Huellensysteme_II

Ich verwende im Folgenden für eine Menge die Notation als Potenzmenge von .

Definitionen

Sei eine Menge, ein Hüllensystem heißt Hüllensystem, falls gilt:

  1. und
  2. ,

Sei eine Abbildung. Eine Teilmenge von heißt -abgeschlossen, falls für alle , gilt, dass .

Ende

Hier nun der Beweis:

Voraussetzung

Sei eine Menge, . Sei weiterhin ist -abgeschlossen die Menge der -abgeschlossen Teilmengen von .

Behauptung

Dann ist ein Hüllensystem auf .

Beweis

Dass ist klar per definitionem. Es bleiben also die anderen beiden Eigenschaften in der Definition eines Hüllensystems zu zeigen.

  1. z.z. . Da aufgrund der Definition von ist -abgeschlossen und damit w.z.b.w.

  2. z.z. ,
    Anschaulich bedeutet das, dass der Schnitt von -abgeschlossenen Teilmengen von wieder eine -abgeschlossene Teilmenge von ergibt. Sei also , beliebig aber fest. Sei , wobei eine Indexmenge ist. Beachte, muss nicht endlich oder abzählbar sein. Dann sind die -abgeschlossen für alle , da . Insbesondere, aufgrund der Definition von -abgeschlossenheit gilt für alle mit , dass .
    Wir müssen nun zeigen, dass , Wähle also beliebig aber fest. Dann ist für alle . Damit ist für alle , da alle -abgeschlossen sind. Damit ist



Published

25 April 2015

Category

Brainteaser

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