Hüllensysteme
Einführung
Vor einer Weile hat jemand einen Ausdruck aus einem Mathebuch zu einem Treffen meiner lokalen Hackergruppe gebracht. Es ging um Hüllensysteme; tiefste Mengentheorie, von der ich noch nie gehört habe. Seine Behauptung war, dass ein Teil davon nicht stimmen könnte. Aus welchen Buch es genau war, wollte er nicht sagen. Ich habe mich nun damit beschäftigt und die Korrektheit der betreffenden Aussage bewiesen.
Mittelteil
Ich habe ein Bild des Scans bekommen. Der Teil um den es geht ist die unterstrichene Aussage im zweiten Bild.
Ich verwende im Folgenden für eine Menge \(E\) die Notation \(P(E)\) als Potenzmenge von \(E\).
Definitionen
Sei \(E\) eine Menge, ein Hüllensystem \(H\subseteq P(E)\) heißt Hüllensystem, falls gilt:
- \(E\in H\) und
- \(N\subseteq H\), \(N\neq\emptyset\Rightarrow\bigcap N\in H\)
Sei \(F: P(E)\rightarrow P(E)\) eine Abbildung. Eine Teilmenge \(X\subseteq E\) von \(E\) heißt \(F\)-abgeschlossen, falls für alle \(Y\subseteq X\), \(Y\in \operatorname{def}(F)\) gilt, dass \(F(Y)\subseteq X\).
Ende
Hier nun der Beweis:
Voraussetzung
Sei \(E\) eine Menge, \(F: P(E)\rightarrow P(E)\). Sei weiterhin \(H:=\{X\subseteq E, X\) ist \(F\)-abgeschlossen\(\}\) die Menge der \(F\)-abgeschlossen Teilmengen von \(E\).
Behauptung
Dann ist \(H\) ein Hüllensystem auf \(E\).
Beweis
Dass \(H\subseteq P(E)\) ist klar per definitionem. Es bleiben also die anderen beiden Eigenschaften in der Definition eines Hüllensystems zu zeigen.
-
z.z. \(E\in H\). Da \(F(E)\subseteq E\) aufgrund der Definition von \(F\) ist \(E\) \(F\)-abgeschlossen und damit \(E\in H\) w.z.b.w.
-
z.z. \(N\subseteq H\), \(N\neq\emptyset\Rightarrow\bigcap N\in H\)
Anschaulich bedeutet das, dass der Schnitt von \(F\)-abgeschlossenen Teilmengen von \(E\) wieder eine \(F\)-abgeschlossene Teilmenge von \(E\) ergibt. Sei also \(N\subseteq H\), \(N\neq\emptyset\) beliebig aber fest. Sei \(N=\{n_i, i\in I\}\), wobei \(I\) eine Indexmenge ist. Beachte, \(N\) muss nicht endlich oder abzählbar sein. Dann sind die \(n_i\) \(F\)-abgeschlossen für alle \(i\), da \(N\subseteq H\). Insbesondere, aufgrund der Definition von \(F\)-abgeschlossenheit gilt für alle \(Y\subseteq n_i\) mit \(Y\in \operatorname{def}(F)\), dass \(F(Y)\subseteq n_i\).
Wir müssen nun zeigen, dass \(Y\subseteq \bigcap N\), \(Y\in \mathtt{def}(F)\Rightarrow F(Y)\subseteq \bigcap N\) Wähle also \(Y\subseteq\bigcap N\) beliebig aber fest. Dann ist \(Y\subseteq n_i\) für alle \(i\). Damit ist \(F(Y)\subseteq n_i\) für alle \(i\), da alle \(n_i\) \(F\)-abgeschlossen sind. Damit ist \(F(X)\subseteq\bigcap N\)